Fonction de lyapunov exemple

Nous pouvons prendre n`importe quelle combinaison appropriée, par exemple, nous avons défini (a = 1, ) (b = 8. Comme il découle de la RHS (côté droit) des équations, les dérivés ({largefrac{{DX}}{{DT}}normalsize}, ) ({largefrac{{dy}}{{DT}}normalsize}) augmentera pour les points du premier quadrant du plan de phase ( (x gt 0, ) (y gt 0 ) ). En outre, la fonction (Vleft (mathbf{X} right) ) est zéro à la limite de ({U_1} ), y compris le point (left ({0,0} right). Oxford, Angleterre: Clarendon Press, p. ainsi, toutes les conditions du théorème de Chetaev sont remplies. La théorie qualitative des équations différentielles ordinaires: une introduction. Lyapunov fonctions se posent dans l`étude des points d`équilibre des systèmes dynamiques. Dans la théorie des équations différentielles ordinaires (ODEs), les fonctions Lyapunov sont des fonctions scalaires qui peuvent être utilisées pour prouver la stabilité d`un équilibre d`une ODE. En utilisant la première méthode d`approximation, nous pouvons vérifier que le point d`équilibre zéro est une concentration stable. Alors, Let V (x) = x 2 {displaystyle V (x) = x ^ {2}} sur R {displaystyle mathbb {R}}. Un algorithme pour la construction de fonctions Liapunov. Boston, MA: Academic Press, pp.

Ici, le premier vecteur est le dégradé de (Vleft (mathbf{X} right), ) i. évidemment, la fonction (Vleft ({X, y} right) ) est positive partout sauf à l`origine, où elle est nulle. Le deuxième vecteur dans le produit scalaire est le vecteur de vélocité. Voyons ce que les résultats peuvent être obtenus en utilisant une fonction Lyapunov. Notez que l`utilisation du même candidat Lyapunov on peut montrer que l`équilibre est également globalement asymptotiquement stable. On peut voir que la dérivée ({largefrac{{dV}}{{dt}}normalsize}) est également positive dans le sous-domaine ({U_1} ) défini par la relation (left | x right | gt left | y right |. On peut donc supposer que le système est instable. À tout moment, il est tangent à la trajectoire de phase. Le choix des coefficients sera clair à partir des transformations ultérieures. Ainsi, dans l`étude des points d`équilibre, il suffit de supposer que le point d`équilibre se produit à 0 {displaystyle 0}. Si V {displaystyle V} est une fonction Lyapunov, l`équilibre est stable Lyapunov.

Les valeurs propres de cette matrice sont nulles: ({lambda _ {1, 2}} = 0. Nous utilisons la méthode des fonctions Lyapunov pour l`analyse de stabilité. Ainsi, pour le système donné, il y a une fonction Lyapunov, et sa dérivée est négative partout sauf à l`origine. L`inverse est également vrai, et a été prouvé par J. considérant qu`il n`existe pas de technique générale pour la construction de fonctions Lyapunov pour les ODEs, dans de nombreux cas spécifiques, la construction des fonctions Lyapunov est connue. Jordan, D. Comme on peut le voir, le dérivé total ({largefrac{{dV}}{{dt}}normalsize}) doit être strictement négatif (négatif défini) dans un voisinage de l`origine pour la stabilité asymptotique de la solution zéro. Par exemple, les fonctions quadratiques suffisent pour les systèmes avec un seul État; la solution d`une inégalité de matrice linéaire particulière fournit des fonctions Lyapunov pour les systèmes linéaires; et les lois de conservation peuvent souvent être employées pour construire des fonctions de Lyapunov pour des systèmes physiques.

Hahn, W. Un point d`équilibre est un point y ∗ {displaystyle y ^ {*}} tel que g (y ∗) = 0. Par conséquent, la fonction (Vleft (mathbf{X} right) ) est une fonction Lyapunov et la solution zéro du système est stable au sens de Lyapunov. Par conséquent, la solution zéro du système est asymptotiquement stable (noeud stable).

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